摘 要:“四能”是发展学生核心素养的有效载体,是数学课程标准中提出的课程目标之一.以“正多边形与圆”为例,探索促进学生“四能”提升的教学策略,对如何设计和实施教学活动以启发学生发现、提出问题,引导学生分析、解决问题进行探究.
关键词:初中数学;四能;正多边形与圆
“四能”是指运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的四种能力.《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“课标”)将发展“四能”列为课程目标之一(”.因此,“四能”对发展学生数学核心素养、落实立德树人根本任务的重要性不言而喻.概念课是初中数学阶段的常见课型,传统教学模式下,常常由教师给出概念,学生理解并记忆.然而,这样的教学方式对挖掘学生潜能、培养学生思维能力有一定局限性.如何在概念课教学中培养学生“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的能力?笔者以“正多边形与圆”一课为例进行探索.
一、基于培养学生“四能”的前置活动(预习作业)
相较于分析、解决问题,学生对发现、提出问题常常不够重视;加之课堂上各教学环节紧凑,学生有时缺乏提出有发展性问题的机会,因此,在教学前，笔者设计前置活动,给予学生充分的思考时间,激发学生发现、提出问题.在前置活动的布置中,笔者进行以下尝试.
(一)设计关联活动,引导学生发现问题
在实际教学中,学生面对问题时,能试着寻找方法来解决,但让学生自主发现问题时,他们却常常陷入沉默,一时不知从哪里入手.知识的衔接点是问题的源头之一[2],本课时主要学习正多边形的相关知识,但与圆的相关知识有许多相似性,因此,笔者在前置活动中,围绕正多边形与圆设计了一些数学活动.比如“作出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的对称轴,观察图形的对称轴分布情况”“作出正三角形、正四边形、正五边形的内切圆、外接圆”等.上述图形互相关联但又有不同的特征,学生在活动中经历操作、观察、对比、联想、实验,容易发现图形与图形间联系和矛盾的地方,能有效激发学生思维、有利于学生发现问题。
(二)创设问题情境,启发学生提出问题
学者Silver指出,在解决给定问题中产生新问题或重新阐述提出新问题是问题提出的一种类型;国内也有学者提出,学生的学习过程是问题解决与问题提出交织往复的过程.基于此，在前置任务中,笔者基于学生的认知水平和知识储备，创设问题情境,设置了一些有一定思维空间的问题要求学生完成.比如“观察正三角形、正四边形、正五边形、正六边形,它们有什么共同特征吗?可以从哪些角度来描述特征?”“如何作出等边三角形的外接圆、内切圆?观察外接圆、内切圆的圆心与对称轴的交点,你有什么发现吗?”希望学生在解决问题的过程中受到启发,能够发现、提出新问题。
实际教学中,许多学生虽然提出了问题,但所提的问题大多缺乏数学角度或属于封闭式问题.这类问题的探讨空间有限,对培养学生创新精神、落实核心素养的作用也有限.在前置活动中,为学生创设问题情境,一方面可供学生感悟具有实践性、从数学角度出发的问题是怎样的,为学生提出问题提供思考方向,另一方面也可供学生学习如何用数学语言将问题表述准确。
(三)收集问题反馈,保障教学中精准分析、解决问题
上述活动启发学生运用几何直观的数学眼光观察各正多边形的图形特征,鼓励学生自主思考提出问题,培养学生提问习惯.对于学生反馈的问题,笔者进行收集与进一步筛选:38位学生中有26位提出问题,其中11位学生就正多边形的相关概念提出了问题,7位学生提出的问题与正多边形的性质有关.这些问题为笔者诊断学情提供了帮助,使笔者明确学生主要在正多边形的相关概念和性质上存在疑惑,为后续教学环节的设计提供了参考,为笔者在后续教学环节中带领学生精准分析、解决问题提供了保障。
二、基于培养学生"四能"的教学环节设计与实践笔者通过对学生提问进行收集、诊断.筛选出能真实反映学生困惑的问题,以此为基础进行后续教学环节设计,精准把握学情,有针对性地带领学生分析、解决问题,让学生经历从发现、提出到分析、解决问题的过程,促进学生"四能”的提升。
引入新课
问题1 我们研究过的等边三角形具有哪些性质?我们研究过的正方形具有哪些性质?是从哪几个维度开展研究的呢?
师生活动复习等边三角形、正方形的性质,找出共同特征(它们都是各边相等、各角相等的轴对称图形),并借助等边三角形和正四边形归纳得出正多边形的概念.
概念:一般地,各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n为正整数,且n≥3)条边,就叫正n边形.
设计意图:从学生熟悉的正三角形、正四边形着手,引出正多边形的概念,同时引导学生从边、角、对称性等角度研究几何图形的性质,教授学生几何图形性质的研究策略.
(二)合作探究,学习新课
1.正多边形的相关概念
学生提问1正多边形的相关概念与圆的相关概念是否具有相似性?
师生活动利用正三角形的轴对称性,作出其内切圆和外接圆,如图1所示.借助多媒体演示,学生观察图形,感受同一条线段、同一个点在圆、正三角形中的不同身份,体会正多边形与圆的联系,类比圆的圆心、圆心角、半径等概念,归纳正三角形的中心、中心角、半径、边心距等相关概念、
设计意图:本课时概念较多，如果按照传统的概念教学方式,学生对概念的理解容易只停留在表面,无法实现深层的知识建构,也无法真正解决问题.从学生的问题反馈来看,他们已感知到正多边形与圆具有某些相关性,但具体有怎样的联系还缺乏理性认识.于是,在本环节中,笔者践研借助动态演示,让学生从几何直观的角度观察到，点 0 在圆中为圆心,在正三角形中是中心,线段OB在外接圆中是半径,在正三角形中是正三角形的半径，线段OD在内切圆中是半径,在正三角形中是正三角形的边心距,引导学生感受圆的概念与正多边形的概念的共性。
问题2 正四边形是否也有其中心,半径、边心距、中心角?请类比正三角形的研究方法,尝试找出正四边形的中心、正四边形的半径、正四边形的边心距、正四边形的中心角。
师生活动小组合作，动手操作，类比正三角形的例子,利用正四边形的轴对称性画出正四边形的外接圆、内切圆,联系圆的相关概念,归纳正四边形的中心、中心角、半径、边心距等概念,设计意图:在生生对话、合作交流中,通过正四边形的例子进一步加强对正多边形相关概念的理解、
问题3(1)正五边形、正六边形有哪些性质?(2)请类比正三角形的研究方法,尝试找出正五边形和正六边形的中心、半径、边心距、中心角。
问题4 (1)正n边形有哪些性质?(2)正n边形是否也有其中心、半径、边心距、圆心角?
概念:正多边形的___--圆心叫做正多边形的中心;
正多边形的半径叫做正多边形的半径;
正多边形的半径长叫做正多边形的边心距:
正多边形一边所对的叫做正多边形的中心角，
师生活动学生自主类比正三角形、正四边形，从边、角、对称性研究正五边形、正六边形的性质,再利用轴对称性画出外接圆和内切圆,画出正五边形、正六边形的中心、中心角、半径、边心距,归纳正多边形的相关概念。
追问1仔细观察正多边形边数逐渐增多的过程,你有什么发现和疑问?
学生提问2 当n趋近于无穷大时,正n边形是否趋近于圆?内切圆和外接圆是否会重合为同一个圆?
追问2在以上画出各正多边形的中心、中心角、半径、边心距的过程中,对于这些线段和角的关系,你有什么猜测吗?
学生提问3 正多边形的中心角、半径、边心距和边长之间是否存在固定的数量关系?
设计意图:在解决正多边形与圆有怎样的联系的问题中,从正三角形到正n边形,让学生经历教师演示、合作交流、自主探索、类比归纳等环节,感悟正多边形的中心、中心角、半径、边心距与圆的圆心、圆心角、半径的联系,深化对正多边形相关概念的理解，经历从一般到特殊的研究过程,体会数学思想,习得解决问题的策略,在解决问题的探究过程中,通过不断追问,给出思维导向,启发学生继续提出问题,
2,正多边形的对称性
问题5如图2.正三角形绕着它的中心每旋转多少度可以与它自身重合?正方形呢?正六边形呢?它们具有怎样的旋转对称性?正n边形是旋转对称图形吗?
小结:正n边形是旋转对称图形,旋转角是＿＿＿＿＿＿
师生活动学生观察正n边形的图形特征,猜想正n边形是否是旋转对称图形.然后笔者用多媒体演示图形动态旋转过程,学生观察图形位置变化，验证猜想并总结正n边形的旋转对称性特征
问题6正n边形是中心对称图形吗?
小结:当n为时，正n边形不是中心对称图形＿＿＿＿＿＿;
当n为时,正n边形是中心对称图形.师生活动在问题6的基础上,学生继续归纳正多边形的中心对称性特征,引导学生通过分类讨论,概括正n边形的中心对称性质.
设计意图:设计问题链,让学生通过观察、猜想、验证、归纳,得出正多边形具有对称性的结论.从边、角的性质到轴对称性、旋转对称性、中心对称性，围绕以上几个维度对正多边形的性质展开研究,这是研究几何图形性质的常用思路,让学生获得几何图形性质的研究方法,促进学生分析问题、解决问题能力的提升.
3.讨论交流,解决问题
学生提问4正多边形的中心角与每个内角、每个外角的关系是怎样的?
小结:正多边形的中心角与每个内角，正多边形的中心角与每个外角____
学生提问5当n增大时,外接圆的半径与内切圆的半径越来越接近,这是否是割圆术的原理?
设计意图:集中解决预习作业中收集的学生问题,精准教学.
(三)课堂小结
(1)本节课我们是如何习得正多边形的相关概念的?
(2)我们从哪些维度研究了正多边形的性质?(3)回顾本节课的学习过程,你有哪些收获?
设计意围:引导学生提炼、归纳所学知识,帮助学生内化、迁移知识,将新知融人已有知识结构,
三、对基于培养学生"四能”教学设计的再思考
(一)深度挖掘教材,注重知识关联
教材中的各知识点具有整体性和延续性知识点时需要理解教材的编写逻辑,从单元视角解析教材内容,找到新知与旧知的衔接点.比如本节课安排在“圆"这一章节,位于圆的相关概念和性质之后,教学设计时应思考本节内容与圆的联系,在圆的知识基础上进行研究.新知与旧知的衔接点，往往也是学生知识的生长点,是学生容易发现问题的地方、教学时应多关注知识关联之处,引导学生寻找新知与旧知相联系或者相矛盾的地方,激发学生探索热情,为学生发现,提出问题提供思维导向，
(二)重视通性通法,渗透常用思想
问题是层出不穷的.研究对象也总是千变万化的,但是研究方法和数学思想却是共通的、一致的.因此,教学中要带领学生抓住问题核心,总结常用方法，感悟数学思想.比如,本节课中,在研究正多边形性质时，是从边、角、对称性等几个维度有章法地对几何图形展开研究,这样的研究方法在研究其他几何图形性质时也同样适用;归纳正多边形概念时,是从正三角形着手,逐步拓展至正n边形，其中蕴含的由特殊到一般的数学思想迁移至其他研究对象也同样适用.教学中,让学生总结通法、感悟数学思想，有利于学生分析、解决问题能力的提升.
(三)以学生问题为导向,促进“四能"提升
学生是学习的主体,教师设计教学活动前应充分了解学情,除了掌握学生已有知识和已具备的技能外,还应了解学生问题,弄清学生的真实疑问,根据学生问题设计教学环节.课堂中带领学生分析、解决问题,让学生经历从发现、提出到分析、解决问题的过程.以本节课为例,通过前置任务,笔者了解到学生的疑问集中在正多边形的相关概念和性质上,于是在课堂教学中从正三角形着手,引导学生体会正三角形相关概念和性质同圆的相关概念与性质的相似性.然后,小组合作,探究正四边形、正五边形、正六边形与圆的联系并得出相关概念与性质,主要通过问题导向、教师示范、任务驱动、合作探讨等环节解决问题，让学生自主思考的同时,鼓励生生间充分交流,学习解决问题的方法,提升解决问题的能力.
四、结语
“四能”是发展学生核心素养的有效载体41.“四能”的培养对落实学生核心素养发展有重要价值.因此，不论是新知识的预习、新知识的教学、习题的训练抑或是知识的复习,教师都要有意识地根据具体的教学内容设计教学活动,促进学生“四能”的提升.在初中数学教学中,教师可以结合学生的认知需求，合理运用学生学习中存在的问题,并结合学生的认知发展需求作进一步引导探讨,从而在丰富的视角下培养学生的“四能”,促进精彩课堂的生成.参考文献
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[3] 于国文,曹一鸣.问题提出的任务设置ICME-14问题提出与解决专题研究组的总结与展望[J].数学通报,2023(3).
[4]温建红.基于数学核心素养培养学生提出问题能力的意义与策略[J].数学教育学报,2023(3).
摘自：《上海中学数学》2025年第1-2期
