一、数学教学的本原性
一谈到效益，人们身处于经济社会中，自然容易联想到经济效益，以最小的成本获得最大的利润，且追求的是“多快省”。虽说教育是育人的事业，和经济无法相提并论，但时至今日，“以分数论英雄”已是一个不争的事实。而我国的数学教育教学历经抓“双基”，培养“三大能力”，以及“拨乱反正”，又进入“应试教育”的胡同。由此，大家憋足精力，追求的是急功近利，不想做茧中的“蛹”，都竭力成为钻出来的“蝶”。教师恨不能探究出一套应试的拿手技术，在课上一展风采；学生恨不能从课堂上学得一套拿分的诀窍而直奔成功的高台。于是选择题怎么选，填空题怎么填，解答题怎么答等成了教学的核心。殊不知，这是一种扭曲、异化了的教学，背离了数学教学的本质和数学教学的本原，即使分数上去了，但是素质却下来了。完全是一种“泡沫”教学，是一种“虚高”，表面上兴旺发达，实质上“空洞虚荣”。若论有效性，也是低效或是负效大于有效性。笔者是从中学数学讲台走向大学数学讲台的。近年来，在大学任教《初等数学研究》和《数学教学论》课程的过程中，连续地对每一届数学教育专业的本科生(采自全国各地)进行了测试和调研。其中有三个问题。一是让学生回答“函数”的概念，几乎都能一字不差地答出来，而让他们举出一个例子，结果许多学生有口说不出或举出的例子不着边际。二是做“鸡兔同笼”问题，全都是用方程(组)来解答。如果规定用算术解答，有不少学生不会解，会解的又大都用“假设法” (实际上是当年小学老师教的方法)。三是当问及小学数学和大学数学有无联系时，“没什么联系”的回答占据了“主流”。由此，足以看到我们的数学教学存在着严重的问题，而且呈现越来越严重的趋势。为什么这样说，我们不妨就上述的问题做些简单的分析：数学教学的关键有两个，一个是概念，另一个就是解题。围绕着这两者，教什么?怎么教?应该也必须放在课堂教学的第一位，这也是决定教学有效性的第一个基本点。只教学概念的表述与记忆，不管概念的本原、本质，只管背得滚瓜烂熟，但其“本来面目”不得而知或知之甚浅，这怎么能行!只有挖掘出“函数”概念的本原性问题：一是刻画事物的运动变化；二是变量关系；三是历史演变中的表格、曲线，解析式，对应、关系、抽象过程以及现实背景下的函数实例等，才能真正领悟要义、理解内涵，进而感悟到函数不仅仅是一个概念，也是一种思想和方法(具体是对应思想、变化关系)，一种数学思维方法。至此，概念的教学才有可能达到有效、高效。
解题教学始终处在数学教学的“风口浪尖”。像“鸡兔同笼”的问题解决，为什么会出现上面所说的情况呢?原因就是大学生在中小学学习阶段，教师根本不给学生“留白”，也漠视它的背后所蕴涵的本原性问题，而是追求“模式”“套路”和“能解会算”“标准答案”，直截了当地把“解法”：假设都是鸡……或都是兔……(假设法)教给他们。而他们也都机械地学会了假设法，却导致了可持续发展的学力的枯竭。其实，本原性问题十分丰富，学生面对36个头，100条腿，首先会怎么想?我们不应该把这种学的本想，还给他们吗?或从“头数”想起，或从“腿数”想起，立序、范围界定、穷举(列举)找出答案，或尝试几只鸡，几只兔并验证，或分类逼近……只有根植于本原性的数学教学才是“后劲十足”的有效教学。
说到小学数学与大学数学，“小数学”里有“大数学”，如列举、逼近、尝试等蕴涵的数学思想和高等数学能无关系吗?小学数学是根基，是基础，基础不牢，豆腐渣工程。华罗庚先生当年只是初中毕业，学的是小学数学和一点中学数学，然而他却在数学领域里作出了杰出的贡献。而我们现在的硕士、博士毕业的学者们，为什么拿起书来口若悬河，放下书本一筹莫展?这与“基础工程”的质量不无关系。
日常教学中，只见“概念”“策略”“套路”，“标准答案”，不见本原，更不见“人”的课比比皆是。以下是某课堂的教学“例题”：“旅游团23人到旅馆住宿，住3人间和2人间(每个房间不能有空床位)，问有哪些住法。”任课教师直奔“问题解决”的策·略——列举，非常顺利而准确地将答案列了出来(与标准答案完全一致)。他没有一点意识，挖掘出“列举”教学的本原性问题，因而也忽视了都住3人间或2人间实不可能的思维点。虽然说“不差分”，然而长此以往，数学的素养却差了一大截。实际上“列举”教学的背后蕴涵着基本数学思想和方法，所蕴涵的数学教学本原性问题是分类思想及其相应的方法。如果教师不能带领学生在本原性问题的田野里“深耕细作”，不依靠学，只依靠教，也只会教，到头来只会把学生培养成为“标准答案”的“高人”，数学素养上的“矮人”。像列表、画图、倒推、代换、假设以及转化等背后都蕴涵着丰富的数学思想和方法。列举，所蕴涵的数学教学本原性问题是：“对象的分类”或“概念的划分”以及相应的分类或划分的方法；画图，所蕴涵的数学教学本原性问题是：数形结合思想与相应的画图法；倒推，所蕴涵的数学教学本原性问题是：过程或运算的可逆性思想与互逆运算；代换，所蕴涵的数学教学本原性问题是：过程中的不变量思想以及相应的等量关系；假设，所蕴涵的数学教学本原性问题是：不变量思想、逼近思想与相应的等量关系、逼近方法；转化，所蕴涵的数学教学本原性问题是：不变量和矛盾转化思想与相应的等量代换方法。至此，我们已经清晰地看到，有效教学需要的是数学教学本原性问题的支撑，也需要时间和慢功。
二、数学教学的求简性
求简，数学所蕴涵的一种精神，也是数学教学走向深刻、走向有效的光明之路。郑板桥的《题画竹》诗曰：“四十年来画竹枝，日间挥写夜间思。冗繁削尽留清瘦，画到生时是熟时。”这是一种由繁到简、由厚到薄的精神，难道不值得我们学习吗?
我国的教学现状，也是教学改革的难题，学生的学业负担过重、过多，重复性、意义不大的练习与考试，损害了学生的身心健康与学习兴趣；大量的重复、繁杂的应试操练、重复劳动和无效劳动使学生透不过气来。数学教学的现状也很不尽如人意，一边喊着“减负”，一边又走进了繁杂、琐碎、重复性、机械性、低效性甚至是负效性的误区。课课练、天天练、年年练、周考月考、大考小考，“左模右拟”主宰和领导着教学；“越差越多练多考，越多练多考越差”和“越烦恼越加班加点，越加班加点越烦恼”，走不出的怪圈，挥不去的梦魇。由此，对数学课堂教学进行反思、调整、提升，清除臃肿，剥离繁琐，走向简洁、精练、高效是新课程改革的一大突破口。
能否在教师的智慧引领下，努力从冗繁走向凝练，从紧张走向舒缓，从杂乱走向清晰，’从狭隘走向广阔，从肤浅走向深邃，关键在教师，核心是精备课、深研究。求简，功夫在课外。
求简，第一要解决好教学什么。随着教育权利的普及，大量非传统教育对象涌人各级学校；社会的发展和竞争，使教育对象异常复杂多变；“以读书求用”和“学业完成后就失业”的尴尬境地，传统的“精英教育”和“以不变应万变”的数学教学或走向失效或走向无意义；数学学科本身，旧有的知识并没有增加多少，而只是被一再重复，变得越来越泛，越来越滥；人们又总想着永远在一块土地上收获粮食，可是既不耕种又不施肥。所以，求简特别需要从广泛而又庞杂的内容、数学问题中精选、提炼、重组、整合出有意义的“数学元素”，展开有价值的教与学。要在“选材”和“用材”上下功夫，教学要通过“材”，提炼出有高度抽象化、概括化的数学知识原理，数学知识和数学语言之中的数学思想、数学方法，与数学思维方式相匹配的阅读、思考、操作和感知、体验、探究、实践、，感悟的“核心作用点”和生长点，由浅人深，深入浅出，不断走向凝练、深刻。
求简，第二要解决好教学为什么。“教”就是为了“教会”，学是为了“学会”，这是传统的教学理念。现在我们倡导：“教是为了不教，学是为了会学。”教旨在不教，但绝不是“不教为教”也不是少教或“快餐”教学、机器化教学、“复制化”教学，而是“大教不教”。“大教”就需要智慧地教、精教、妙教、简教，需要删繁就简，去粗取精；大教要善于做“减法”，“减法”不是简单、草率、机械地割舍，而是科学、艺术地进行整合、提炼，合理地除去哪些多余的环节、无效的程序、负效的形式，勇敢地把那些“正确的废话”“华丽的装扮”和“无意义的问题”赶出课堂。例如，某教师上“轴对称图形”一课时，用心良苦地设计了一个导人环节：先用课件播放了一段雅典奥运会开幕式的录像，然后提问“从刚才的录像中你们看到了什么?”学生个个兴趣盎然，纷纷回答“我看到了姚明”“我看到了奥运五环旗”“我看到了中国运动员”“我看到了火炬”……几分钟过去了，仍在没完没了。教师只好“引导”：“姚明手中拿的是什么?”有学生回答“国旗!”“上面有什么呢?”学生回答“五角星!”“五角星是轴对称图形吗?”天哪，千呼万唤始出来个五角星(图形)。看看时间，竟花去一节课的八分之一还多。有这个必要吗?许多课堂为了“探究”而“探究”，为了“自主”而“自主”，为了“合作”而“合作”，为了“活跃”而“活跃”，结果浪费了宝贵的教学资源，能给学生留下些、带走些什么呢?无非是“彩色泡沫”，这与我们的求简性格格不入。其实，课堂导人无需太多的虚设和做作，重在“引”和“导”。此课的导人，如果开门见山，教师带领学生用尺规在纸上即时画出一个五角星或手工剪出一个五角星，然后展示出来让学生观察其对称性，不就是一个自然、本色、流畅、艺术、高效、简洁的导人吗?
求简的教学课，就需要结构简洁、明快，选题少而精练，要言不烦，要义不少，整个教学过程不是对前人经验和成果的简单“复制”，“克隆”，而是整合了教学原理和学习心理规律的高度浓缩的过程。
三、数学教学的有序性
数学教学的高超艺术在于“因材施教”和“循序渐进”。这个“序”，一是数学知识自身的“序”，二是数学教学的“序”。内涵十分丰富，来不得马虎，容不得马虎，更不可“偷工减料”，只有把握好这个“序”，才会使教学走向有效、自然、流畅和可持续发展。
1．数学知识本身是经过人为精心组织的公理化结果，是人的创造，但其内容存在着“序”，比如原始状态、逻辑关系、逻辑起点、抽象化、形式化、符号化以及具体到抽象，简单到复杂，浅显到深刻的过程。教师就应主动地在数学的具体源头和抽象等之间穿行，积极地联系、关注学生生活的现实情境，寻找逻辑原点用朴素的原理组织教学，顺着数学的内在的“序”和生活事理的逻辑走向，使学生的学习像呼吸一样自然和朴素。如，“用字母表示数”的“序”依次应该是：①认识一个数的状态，不确定、有范围；②不确定的、有范围的数可以用字母来表示；③同一事件中，表示不同数的两个字母存在着大于或等于或小于的关系(复数除外)，而且，一个字母有可能用另一个字母式来表示。循着这个序，我们就可以领悟，用字母表示数，天性有范围，实质描述了一个数的状态，本质是符号化的革命。同
时，用字母表示数有哲学意义：既不确定而又是确定的，既可表示未知数又可表示已知数(系数)。反过来，如果不追寻“序”，只是干巴巴地剩下“不确定的数，可用字母表示”这个形式化而又冰冷的东西，教学效果就可想而知了。
2．不可否认，目前有相当多的数学课缺少有序、有效的教学因子。整堂课“大满灌、大满教、大满考”。课堂上，教师讲课只剩下正确无误的公式、结论和标准答案，学生跟着教师思路一步步顺利地走向结论；一切问题都有完美、正确的答案，一切问题都有一套固定的解决办法。例如，立体几何中的角、距离问题，已经完全套用向量法，达到了自动化。原本充满阅读、观察、想象、思考、听讲、描述、交流、操作、试误、出错、纠错、整合、推理、实践等有序的、鲜活的数学活动都无暇顾及，只剩下听讲和应试操练，那么我们的教学还能沉淀些什么?
3．教学讲究结构，结构有个基本框架，是循序渐进。教学自然流动，没有雕凿；讲、演、练要充分考虑学生的成长环境、经历、知识基础、生活爱好、经验等因素，更要注意学的准备、学的动力、学的状态，注重学的本能和学的需要。许多人认可教学是师生的交往、审美，但教与学的和谐共振存在着神秘的“序”，可能是不学不教，是先学后教，也可能是教影响学、学影响教，学与教共生共长和“教学相长”。譬如，我们前面谈到的“鸡兔同笼”问题，不少教师最擅长精彩讲演(假设法、砍足法或艺术法)，根本不容学生去想：鸡有几只，兔有几只，如何求解。漠视了教与学的“序”，实际上剥夺了学生许多的权利，造成学生只学会了“答案”，而不是真正地学会了思维，只是学会了机械地模仿和套作。
现时期，类似公开课、竞赛课、示范课的课上得很是精彩，令人叹为观止，但课终人散我们细细地想想就会发现：激进的心态太重了，该让学生阅读、观察、思考、体验的部分全面“缩水”，能少则少；本在以后才学习的公式、定理、规律提前了；有的三年课程不到二年教完，一切超前、超速，追赶“理想目标”。一项系统有序的育人工程，“偷工减料”，甚至把“承重墙”都敢去掉而变成“豆腐渣”工程。结果，再想加固、修补、“回炉再造”已不可能，就是推倒重建也是没有了可能，“质地的颜色”怎么也变不了多少，恶补课、上高四也还是“本色”不变。
四、数学教学的原生态
生态，《现代汉语词典》的释义是；生物的生理特性和生活习性。生态讲究的是平衡。原生态：是指生态的自然、本来、初始状态。课堂是人与人交往，生命与生命、思维与思维对话的园地，十分具有生态性。那么，数学课堂教学的原生态是什么样子?如何回归原生态?
首先，数学课堂教学的基本特征包括：①课堂上数学语言、教学语言的输入、吸收和输出；②教学理论与实践；③课堂教学的动态和生态等的关系；④教师的角色与职责；⑤学生的角色与职责；⑥师生影响合作关系；⑦教学环境因素；⑧数学教学的目的性、预设性和生成性；⑨教学中的差异性与合情合理评价关系；等等。由此，课堂是一个包罗万象的动态而复杂的世界，又是一个极具复杂性、灵动性的生态系统。在这个系统中，核心因素是教师和学生、教和学。原生态的教和学应该是：学是本位，学有本能；学决定教，以学定教，先学后教；教引导学，教依靠学，教依靠本能而不是教本能；“教学相长”，教与学和谐共振。教与学的生态关系是微妙的，不可打破，更不可颠倒。为什么同一个班，同一个教师，同样的环境，几年下来，中考时，有的学生几乎满分(120分)，而有的只有二十多分(几乎是零分，只是选择题的恩赐)，这足以说明教与学的生态关系，也正好说明可能有的教师打破了教与学的生态关系。当然，原生态教学还要求涉及师生双方的身心状态、情感因素、智力水平、非智力因素等要保持动态平衡，还要求涉及子系统、子元素的动态平衡。如学生学的物理条件、身心条件、认知基础、情感和生活境遇等，教师教的身心状态、学识水平、数学功底、教法采用、教学内容的整合等，教学过程中的教学目标、教学内容、教学方法、教学手段、教学评价等都是系统中的要素，它们是动态的、关联的而同时又是冲突的、矛盾的，这就得在动态中协调、经营、调理、平衡。
其次，数学课堂上，时间与任务，讲授与演练，阅读与思考，思维训练与应试操练，接收与咀嚼，快与慢，软实力与硬实力，苦学与乐学等需兼顾与整合，达到多维、灵动、开放、客观而协同推进。说到数学的冷思维、冷面孔，也要有幽默风趣的艺术；说到问，还要有反问、再问、质问、追问、叩问、思问，学着问、问着学；说到眼神，有诱导赞扬的眼神，也要有开导批评的眼神，还要有充满希望和期待的眼神等，这是数学教学生态的必要守护与维护以及动态的调理与平衡。
数学课堂是培养人的优秀思维品格的生态园，漫步其间，依原生态的自然、和谐关系进行观察、观察、再观察；思考、思考、再思考，从而真正获得数学思维的锻炼和数学化的熏陶。试看教学案例：校园直道总长
良好的课堂生态是一个自然、奔放、平等，各要素在动态、矛盾、冲突中不断协调、整合、和谐、平衡的过程，师生的智慧能力得以充分发展，生命给予关照、关怀与生命得以尽情激扬和舒展的绿色生态园。
五、数学教学的实践性
毛泽东的《实践论》告诉我们，只有实践才能出真知。数学知识，作为人类千百年实践认识、思维抽象的结晶，以它最终形式化的表述，人们是很难深入地把握其确切的本质意义。数学的观念、语言、知识、能力、思维品质等内涵，仅仅靠知识的掌握、技能的训练，特别是解题的顶级操练是远远不够的。因此，数学教学需动态的认识，一是体验，需充满情感、富有思考、感受多重的真实体验；二是活动。波塞尔说：“数学是人类的一种活动。”而经验、活动来源于实践，因此，数学课堂教学的有效性可来源于实践。
美国教育家杜威指出：“教育必须建立在经验的基础上，教育就是经验的生长和经验的改造”，并深刻地指出：“一盎司经验胜过一吨理论”。经验即实践，没有实践性的教学是谈不上有效教学的。长期以来，在数学课上，围绕着“双基”，形成了“习题演练”“变式训练”“精讲多练”等比较行之有效的教学模式与方式，有值得肯定的成功经验。但另一个方面，基于我国社会大背景和教育内部应试背景下，往往偏重于达到立竿见影的显性效果的熟练性训练。一些教师尽量把自己的思路、“诀窍”、经验掰碎了、嚼烂了再喂给学生，甚至全盘授予“套路”“模式”，恨不能“省力又省工”，实现“超越”，达到“理想高台”。日常的课堂上，思考的、动手的、活动性的环节少得不能再少，实践性被大大地化，甚至被“淹没”，而“问题解决”满天飞，分类型、记结论的教法比比皆是。譬如，“三角形三边关系”的教学，不少教师非常干净利索地教给了学生：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，学生无人不知无人不晓。然而，当被问到：给你三条木条，你能钉个三角形吗?不少学生会答，“能”，实际上有不能的情况。原因何在呢?就是缺少实践性教学留下的“后遗症”。换一种教法，在课堂上先把问题提出来，然后让学生利用木条、铅笔什么的，亲身实践：用任意三条木条拼接三角形并不断调节木条的长度，就会使学生充分认识到：任意的三条木条是不一定能构成三角形的；继续追问、探问，最终获得结论，得到真知。表面上，两种教法都让学生学得了结论，但前者可能只停留在“口头上”或“会用上”，后者肯定是出自内心，有真切的体验，是真正的认可和领悟；前者可能只会考试，没有多大的“后劲”，后者是既会考试，又会有素养的。
有一种不好的走向，课堂教学不讲究底气，而总想出个“奇招”，人为理想化、科学化、技术化甚至机器化来提升教学效果，实际上是会碰壁的。例如，有一位青年教师，教授立体几何中棱台的点、线、面，使用“课件”比画，比画来比画去，学生却是一头雾水，不得要领。其实，教师只要崇尚实践，带领学生自制棱台模型，就可使教学走出困境。教学中没有了实践的支撑，只怕是辛辛苦苦地沿着梯子爬了上去，爬到顶才发现搭错了墙头，走错了方向。教学始于实践，终于实践，实践应贯穿于教学的始终，多让学生动手折纸、制作几何模型，用数学解释生活等是最有效的教学因子之一。更应看到，教师的教学实践和智慧，有时是十分隐形的，不可言传，而这些点滴、零碎的“实践”，就是非常珍贵的“珍珠”，一旦串联起来，就是价值昂贵的“项链”，这是言传所无法比拟的最有效的教学。
作者：夏玉钦（大同大学数计学院）
来源：《课程.教材.教法》2009.第12期
